题目内容

对于定义在D上的函数y＝f(x)，若存在x0∈D，对任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称函数f(x)在区间D上有下界，把f(x0)称为函数f(x)在D上的“下界”．

(1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”否则请说明理由；f1(x)＝1－2x(x＞0)，f2(x)＝x＋　x∈(0，5]

(2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数f(x)在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”？说明理由；

(3)若函数f(x)在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f(x)是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数f(x)在D上的“幅度M”．

对于实数a，试探究函数F(x)＝x|x|－2x＋3是否是[a，a＋2]上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值．

答案：
解析：

　　解：(1)，在上没有下界；

　　因为在上单调递减，所以无下界．2分

　　有下界，下界为8　3分

　　由于，此时，

　　对任意的，都存在有成立　4分

　　(2)类比函数有“下界”的定义，函数有“上界”可以这样定义：

　　对于定义在D上的函数y＝f(x)，若存在，对任意的，都有，则称函数f(x)在区间D上有“上界”，把称为函数f(x)在D上的“上界”．(写出定义得3分)　7分

　　有上界，上界为2　8分

　　由得函数的定义域为　9分

　　当时，

　　既存在，对任意的，都有　10分

　　(3)是上的“有界函数”　11分

　　1、当时　既

　　在上单调递增

　　　

　　幅度　12分

　　2、当时　既

　　　

　　幅度　13分

　　3、当时　既

　　　

　　幅度　14分

　　4、当时　既

　　　

　　幅度　15分

　　5、当时　既

　　　

　　幅度　16分

　　当时

　　在上单调递增

　　　

　　幅度　17分

　　综合：　18分


练习册系列答案
相关题目
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（　　）
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数，求m和n的值．
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域为[a，b]，则函数y=f（x）（x∈D）称为闭函数．按照上述定义，若函数y=
2x
为闭函数，则符合条件②的区间[a，b]可以是
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
．
对于定义在D上的函数f（x），如果存在常数M和N，使得对于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界，N称为函数f（x）的一个上界．
（1）判断函数f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上是否为有界函数，不必说明理由；
（2）判断函数f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由
（3）若函数f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函数，且3是f（x）的一个上界，-3是f（x）的一个下界，求实数a的取值范围．

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