Question

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c （c是常数）；
②对于D内任意x₂，当x₂∉[a，b]时总有f（x₂）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

Answer 1

分析：（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，
②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．
（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，从而得到f（x）
≤2，结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．
（3）假定函数是“平底型”函数，则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件，
化简函数解析式，检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在．

解答：解：（1）（理）f₁（x）是，∵函数定义域R，在区间[1，2]上，f₁（x）=1，在区间[1，2]外，f₁（x）＞1，
f₂（x）不是，∵在（-∞，2]上，f₂（x）=2，在（-∞，2]外，f₂（x）＞2，而（-∞，2]不是闭区间．
（文）f₁（x）是，理由同（理）f₁（x），f₂（x）不是，∵在[3，+∞）上，f₂（x）=3，在[3，+∞）外，
f₂（x）＜3．
（2）（理）|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），即  f（x）≤|

t

k

-1|+|

t

k

+1|，∵|

t

k

-1|+|

t

k

+1|的最小值是2，
∴f（x）≤2，又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（文）∵|t-1|+|t+1|≥f（x），|t-1|+|t+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
 又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（3）（理）x²+2x+n=（mx-c）²
则m²=1，-2mc=2，c²=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情况下，f（x）=

2x+1     x≥-1 -1          -2≤x＜-1

是“平底型”函数；
②情况下，f（x）=

-2x-1    -2≤x≤-1 -1          x＞-1

不是“平底型”函数；
综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数
（文）f（x）=

-(m+n)x+m+2n     x＜1 (m-n)x-m+2n        1≤x≤ (m+n)x-m-2n         x＞2

2
1°当m+n＞0时
若m-n=0，是“平底型”函数；若m-n≠0，不是“平底型”函数
2°当m+n＜0时，不是“平底型”函数
3°m+n=0
若m-n＞0，不是“平底型”函数
若m-n＜0，不是“平底型”函数
若m-n=0，f（x）=0，显然不是“平底型”函数．
故当m+n＞0，且m-n=0时，是“平底型”函数

点评：本题综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．