题目内容

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域为[a，b]，则函数y=f（x）（x∈D）称为闭函数．按照上述定义，若函数y=
2x
为闭函数，则符合条件②的区间[a，b]可以是
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
．
分析：由已知条件中“闭函数”的定义，说明函数y=
2
x
在区间[a，b]的值域是[a，b]，因为函数在（-∞，0）和（0，∞+）均为减函数所以分a、b都小于0和a、b都大于0两种情况讨论，通过解方程组，即可得到符合条件②的区间[a，b]．
解答：解：∵函数y=
2
x
在（-∞，0）和（0，∞+）均为减函数，在[a，b]的值域是[a，b]，
∴当[a，b]⊆（0，+∞）时，可得
f(a)=
2
a
=b
f(b)=
2
a
=b
，说明只要满足ab=2，且a＜b的正数a、b都能符合题意
同理可得，当[a，b]⊆（-∞，0）时，满足ab=2，且a＜b的负数数a、b也能符合题意．
所以任意满足ab=2，且a＜b的实数都能符合题意．
故答案为：[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
点评：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（　　）
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数，求m和n的值．
对于定义在D上的函数f（x），如果存在常数M和N，使得对于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界，N称为函数f（x）的一个上界．
（1）判断函数f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上是否为有界函数，不必说明理由；
（2）判断函数f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由
（3）若函数f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函数，且3是f（x）的一个上界，-3是f（x）的一个下界，求实数a的取值范围．

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