Question

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常数）；②对于D内任意x₂，当x₂∉[a，b]时总有f（x₂）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
（1）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）若F(x)=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．
（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，从而得到f（x）≤2，
结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．
（3）假定函数是“平底型”函数，则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在．

解答：解：（1）f₁（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数，
存在区间[1，2]使得f₁（x）=1，在区间[1，2]外，f₁（x）＞1，
f₂（x）=x+|x-2|不是“平底型”函数，
∵在（-∞，0]上，f₂（x）=2，在（-∞，0]外，f₂（x）＞2，（-∞，0]不是闭区间．
（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立
即  f（x）≤|

t

k

-1|+|

t

k

+1|，
∵|

t

k

-1|+|

t

k

+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（3）∵F(x)=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数
x²+2x+n=（mx-c）²
则m²=1，-2mc=2，c²=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情况下，f（x）=

2x+1     x≥-1 -1          -2≤x＜-1

是“平底型”函数；
②情况下，f（x）=

-2x-1    -2≤x≤-1 -1          x＞-1

不是“平底型”函数；
综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，关键是对新概念的理解．