Question

对于定义在D上的函数f（x），如果存在常数M和N，使得对于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界，N称为函数f（x）的一个上界．
（1）判断函数f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上是否为有界函数，不必说明理由；
（2）判断函数f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由
（3）若函数f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函数，且3是f（x）的一个上界，-3是f（x）的一个下界，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据有界函数的定义直接判断即可，（2）根据函数的单调性即可得到结论，（3）根据函数的有界性，建立条件关系即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上不是有界函数．
（2）∵f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）≥f（0）=3，
即f（x）在（-∞，0）的值域为[3，+∞），
故存在常数M≤3，使|f（x）|≥M成立．
但不存在N，使f（x）≤N成立，
∴函数f（x）在[0，+∞）上不是有界函数． 
（3）若函数f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函数，且3是f（x）的一个上界，-3是f（x）的一个下界，
则|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
设t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，
得-3≤1+at+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立…（6分）
设h（t）=-t-

4

t

，p（t）=

2

t

-t，
则h（t）在（0，1]上递增；p（t）在（0，1]上递减，
h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；
p（t）在（0，1]上的最小值为p（1）=1，
∴实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：本题主要考查函数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，正确理解新定义，合理地进行等价转化是解决本题的关键．