Question

已知在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别是AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PB=AD，求二面角F-BE-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BCDE是平行四边形，从而得到PE⊥AD，由此能证明AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，取CD中点H，连接FH，GH，知GH∥AD，由已知条件推导出∠FGH为二面角F-BH-C的平面角，由此能求出二面角F-BE-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：由已知得ED∥BC，ED=BC，
∴BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，BE=CD，
∵AD⊥CD，∴BE⊥AD，
由PA=PD及E是AD的中点，得PE⊥AD，
又∵BE∩PE=E，∴AD⊥平面PBE．
（Ⅱ）解：设PA=PD=AD=2BC=2CD=2a，
则PF=

3

a，又PB=AD=2a，EB=CD=a，
∴PB²=PE²+BE²，∴PE⊥BE，
又∵BE⊥AD，AD∩PE=E，
∴BE⊥平面PAD，得BE⊥PA，故BE⊥FG，
取CD中点H，连接FH，GH，知GH∥AD，因此GH⊥BE，
综上可知∠FGH为二面角F-BH-C的平面角，
∵FG=

1

2

PA=a，FH=

1

2

PD=a，GH=

1

2

AD=a，
∴∠FGH=60°，
∴二面角F-BE-C等于60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．