Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin（A-B）=cosC．
（Ⅰ）若a=3

2

，b=

10

，求c；
（Ⅱ）求

acosC-ccosA

b

的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右边利用诱导公式化简，根据三角形ABC为锐角三角形确定出B的度数，再由a与b的值，利用余弦定理即可求出c；
（Ⅱ）由B的度数求出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子，利用两角和与差的正弦函数公式及正弦定理化简，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（Ⅰ）由sin（A-B）=cosC，得sin（A-B）=sin（

π

2

-C），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A-B=

π

2

-C，即A-B+C=

π

2

，①
又A+B+C=π，②
由②-①，得B=

π

4

，
由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，得（

10

）²=c²+（3

2

）²-2c×3

2

cos

π

4

，
整理得：c²-6c+8=0，
解得：c=2，或c=4，
当c=2时，b²+c²-a²=（

10

）²+2²-（3

2

）²=-4＜0，
∴b²+c²＜a²，此时A为钝角，与已知矛盾，故c≠2，
则c=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ），知B=

π

4

，
∴A+C=

3π

4

，即C=

3π

4

-A，
∴利用正弦定理化简得：

acosC-ccosA

b

=

sinAcosC-cosAsinC

sinB

=

sin(A-C)

2 2

=

2

sin（2A-

3π

4

），
∵△ABC是锐角三角形，
∴

π

4

＜A＜

π

2

，
∴-

π

4

＜2A-

3π

4

＜

π

4

，
∴-

2

2

＜sin（2A-

3π

4

）＜

2

2

，
∴-1＜

acosC-ccosA

b

＜1．
则

acosC-ccosA

b

的取值范围为（-1，1）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理是解本题的关键．