题目内容
某公司生产一种硬纸片包装盒，如图，把正方形ABCD切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，沿虚线折起使ABCD四个点重合，形成如图所示的正四棱柱包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AB=40cm，AE=xcm
（1）要使包装盒侧面积S（cm2）最大，则x应取何值？
（2）要使包装盒容积V（cm3）最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
（1）要使包装盒侧面积S（cm2）最大，则x应取何值？
（2）要使包装盒容积V（cm3）最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式在最值问题中的应用
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
解答：
解：（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），
由已知得a=
x，h=
=
(20-x)，0＜x＜20．…（3分）（不写定义域扣1分）
S=4ah=8x（20-x）=-8（x-10）2+800…（5分）
所以当x=10时，S取得最大值．…（6分）
（2）V=a2h=2x2•
=2
(20x2-x3)…（8分）
V′=2
(40x-3x2)=2
x(40-3x)…（9分）
由V′=0得x=0（舍）或x=
当x∈(0，
)时V'＞0，当x∈(
，20)时V'＜0
所以当x=
时，V取得极大值，也是最大值．…（11分）
此时
=
，即包装盒的高与底面边长的比值为
．…（12分）
由已知得a=
| 2 |
| 40-2x | ||
|
| 2 |
S=4ah=8x（20-x）=-8（x-10）2+800…（5分）
所以当x=10时，S取得最大值．…（6分）
（2）V=a2h=2x2•
| 40-2x | ||
|
| 2 |
V′=2
| 2 |
| 2 |
由V′=0得x=0（舍）或x=
| 40 |
| 3 |
当x∈(0，
| 40 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
所以当x=
| 40 |
| 3 |
此时
| h |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于中档题．
练习册系列答案
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三棱锥P-ABC中，三侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且三角形△PAB，△PAC，△PBC的面积依次为1，1，2，则此三棱锥 P-ABC外接球的表面积为（ ）| A、9π | B、12π |
| C、18π | D、36π |
二进制数101 101（2）对应的十进制数是（ ）
| A、45 | B、44 | C、46 | D、47 |
下列函数中，不是奇函数的为（ ）
A、y=ln
| ||
| B、y=-x3 | ||
| C、y=ex+e-x | ||
| D、y=x|x| |
设a=ln2，b=（ln2）2，c=ln
，则（ ）
| 2 |
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、c＞a＞b |
| D、c＞b＞a |