Question

已知⊙C的圆心C（3，1），被x轴截得的弦长为4

2

．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设⊙C的半径为r，由题意可知r2=(2

2

)2+12，由此能求出⊙C．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出a=-1．

解答： 解：（Ⅰ）设⊙C的半径为r，由题意可知r2=(2

2

)2+12，得r=3．
所以⊙C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0．…（6分）x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

(a-1)2

2

由于OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，所以2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0
所以2•

(a-1)2

2

+a(4-a)+a2=0
解得a=-1，…（10分）
判别式△=56-16a-4a²＞0．…（12分）
所以a=-1．…（13分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．