Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b．
（1）求角A的余弦值；
（2）若c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式sinA+sinB=2sinC利用正弦定理化简得到a+b=2c，代入a=2b中表示出b，利用余弦定理表示出cosA，把表示出的a与b代入求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）把sinA+sinB=2sinC，利用正弦定理化简得：a+b=2c，
把a=2b代入得：3b=2c，即b=

2

3

c，a=

4

3

c，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4 9 c2+c2- 16 9 c2

4 3 c2

=-

1

4

；
（2）由cosA=-

1

4

，得到sinA=

15

4

，
∵c=4，∴b=

8

3

，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

4 15

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．