Question

已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若点P满足

AP

=

AB

+λ

AC

（λ∈R），当λ为何值时：
（1）点P在直线y=x上；
（2）点P在第四象限．

Answer 1

考点：向量数乘的运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）设P（x，y），求出

AP

、

AB

、

AC

，由

AP

=

AB

+λ

AC

，求出x、y，令x=y，求出λ的值；
（2）由点P（x，y），令

x＞0 y＜0

，求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），则

AP

=（x-2，y-3），

AB

=（5-2，4-3）=（3，1），

AC

=（7-2，10-3）=（5，7）；
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，
∴（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7）=（3+5λ，1+7λ），
即

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，
∴

x=5+5λ y=4+7λ

；
当5+5λ=4+7λ，即λ=

1

2

时，x=y，
此时点P在直线y=x上；
（2）由（1）知点P（x，y）满足

x=5+5λ y=4+7λ

，
令

x＞0 y＜0

，即

5+5λ＞0 4+7λ＜0

，
解得-1＜λ＜-

4

7

；
∴当-1＜λ＜-

4

7

时，点P在第四象限．

点评：本题考查了平面向量的知识应用问题，解题时应设出P的坐标，利用坐标表示求出x，y的表达式，即可根据题目要求，解出正确答案．