Question

15．已知圆C经过两点A（（-1，0）和B（1，2），且圆心在x轴上，
（1）求圆C的方程
（2）试直接写出经过点M（-1，-2），并且与圆C相切的直线l的方程（不用写出过程）

Answer 1

分析 （1）根据题意，设圆心为C（a，0），由两点的距离公式建立关于a的方程，解出a=1，从而算出圆心坐标和半径R，即可得到所求圆的标准方程．
（2）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可．

解答 解：（1）设圆心为C（a，0）
由两点的距离公式，得|CA|=|a+1|，|CB|=$\sqrt{（a-1）^{2}+4}$
∵两点A（（-1，0）和B（1，2）在圆上
∴|CA|=|CB|，得$\sqrt{（a-1）^{2}+4}$=|a+1|，
解之得a=1，可得圆心C（1，0），半径R=2
因此可得所求圆的方程为（x-1）²+y²=4；
（2）设切线方程为y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，
∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，
∴$\frac{|2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0，
∴切线方程为y+2=0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=-1，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，
故直线x=-1也适合题意．
所以，所求的直线l的方程是y+2=0或x=-1．

点评 本题给出圆心在定点且经过两点的圆的方程，着重考查了两点的距离公式和圆的标准方程的知识，考查圆的切线方程的求法，属于中档题．