Question

已知函数.
(1当 时， 与)在定义域上单调性相反，求的 的最小值。
（2）当时，求证：存在，使的三个不同的实数解，且对任意且都有.

Answer 1

(1) 1，(2)详见解析.

试题分析：(1)利用导数求函数单调性，注意考虑函数定义域. 两个函数的单调性可以从可以确定的函数入手.因为当时，；当时，对恒成立，所以，对恒成立，所以，在上为增函数。根据和在定义域上单调性相反得，在上为减函数，所以对恒成立，即：，所以因为，当且仅当时，取最大值.所以，此时的最小值是，-(2)运用函数与方程思想，方程有三个不同的解，实质就是函数与有三个不同的交点 ，由图像可知在极大值与极小值之间. 证明不等式，需从结构出发，利用条件消去a,b，将其转化为一元函数：，从而根据函数单调性，证明不等式.
解析：(1)因为        2分。
当时，；当时，对恒成立，
所以，对恒成立，所以，在上为增函数。
根据和在定义域上单调性相反得，在上为减函数，所以对恒成立，即：，所以因为，当且仅当时，取最大值.所以，此时的最小值是，      6分
(2)因为当时，，且一元二次方程的，所以有两个不相等的实根     8分
当时，为增函数；
当时，为减函数；
当时，为增函数；
所以当时，一定有3个不相等的实根，，
分别在内，不妨设，因为，所以即即
即所以
所以
，令，则
由（1）知在上为减函数，又
所以当，又
所以即       16分