Question

已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若存在， 使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；
当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；
当时，函数的单调递减区间为 .
（2）

试题分析：（1）求函数的导数，并利用导函数求的单调区间，注意对参变量的取值进行分类讨论；
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
而原问题可等价转化为
所以可先利用在上单调递减，求出，再用分离变量法求出实数的取值范围.
解：（1）依题意，    2分
当时，，令，得或
令，得                               3分
当时，                          4分
时，，令，得或；令，得 ；
5分
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；
当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为 ；
当时，函数的单调递减区间为                    6分 .
（2） 由（1）知，当时，函数在上单调递减，
所以，          7分
所以，              8分
因为存在，使得成立
所以
整理得：                                10分
又，所以，又因为，得，
所以所以                        12分