Question

（本小题满分14分）
已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.
（1）求的值及函数的极值；
（2）证明：当时，
（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有

Answer 1

（1）当时，有极小值，无极大值.
（2）见解析.（3）见解析.

试题分析：（1）由，得.
从而.
令，得驻点.讨论可知：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，有极小值，无极大值.
（2）令，则.
根据，知在R上单调递增，又，
当时，由，即得.
（3）思路一：对任意给定的正数c，取，
根据.得到当时，.
思路二：令，转化得到只需成立.
分，，应用导数研究的单调性.
思路三：就①，②，加以讨论.
试题解析：解法一：
（1）由，得.
又，得.
所以，.
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，有极小值，
且极小值为，
无极大值.
（2）令，则.
由（1）得，，即.
所以在R上单调递增，又，
所以当时，，即.
（3）对任意给定的正数c，取，
由（2）知，当时，.
所以当时，，即.
因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）令，要使不等式成立，只要成立.
而要使成立，则只需，即成立.
①若，则，易知当时，成立.
即对任意，取，当时，恒有.
②若，令，则，
所以当时，，在内单调递增.
取，
，
易知，，所以.
因此对任意，取，当时，恒有.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.
解法三：（1）同解法一.
（2）同解法一.
（3）①若，取，
由（2）的证明过程知，，
所以当时，有，即.
②若，
令，则，
令得.
当时，，单调递增.
取，
，
易知，又在内单调递增，
所以当时，恒有，即.
综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.