某城市100户居民的月平均用电量.[180.200).[200.220).[220.240).[240.260).[260.280).[280.300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值,(2)求月平均用电量的平均数,(3)在月平均用电量为[220.240).[240.260).[260.280).[280.300]的四组用户中.用分层抽样的方法抽取11� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的平均数；
（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，
①求月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
②如果月平均用电量在[220，240）的用户中有2个困难户，从月平均用电量在[220，240）的用户中任取2户，则至少有一个困难户的概率是多少？

分析（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；
（3）①可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数；
②一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．

解答解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，
∴直方图中x的值为0.0075．…（2分）
（2）月平均用电量的平均数为$\overline x=（170×0.002+190×0.0095+210×0.011+230×0.0125+250×0.0075+270×0.005+290×0.0025）×20$=225.6…（5分）
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，
月平均用电量为[280，300]的用户有0.0025×20×100=5户，
抽取比例=$\frac{11}{25+15+10+5}=\frac{1}{5}$，
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取$25×\frac{1}{5}=5$户．…（7分）
记这5户中2个困难户为D，E，另外3户为A，B，C，
从这5户中一次任意取出2户的所有可能结果为：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，…（10分）
记A表示从取出的2户中至少有一个困难户，
则A中基本事件为：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7种，
故$P（A）=\frac{7}{10}$…（12分）

点评本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样以及古典概率的问题，属基础题．