Question

10．如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，过C₁的平面交底面ABCD于BD，若AA₁=2$\sqrt{2}$，AB=AD=2，CD=2AB，求：
（1）二面角C₁-BD-C的大小；
（2）三棱锥C₁-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出平面C₁BD和平面BCD的法向量的夹角，则二面角的大小与法向量的夹角的大小相等．
（2）代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：（1）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C₁（0，4，2$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，4，2$\sqrt{2}$），
设平面C₁BD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z，）则$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{D{C}_{1}}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{4y+2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∵z轴⊥平面BCD，故平面BCD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=1，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{π}{4}$．
∴二面角C₁-BD-C的大小为$\frac{π}{4}$．
（2）V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间角的计算，棱锥的体积，属于中档题．