Question

设函数f（x）=2sinx+x，0＜x＜π，求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据导数值的符号与函数的单调性的关系即可求出函数的单调区间，利用函数的单调性求出函数的极大值．

解答： 解：∵f（x）=2sinx+x，
∴f′（x）=1+2cosx，0＜x＜π，
令f′（x）=0，解得x=

2π

3

，
当f′（x）＞0时，即cosx＞-

1

2

，解得0＜x＜

2π

3

，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即cosx＜-

1

2

，解得

2π

3

＜x＜π，函数单调递减，
故函数f（x）=x+2sinx的单调增区间为（0，

2π

3

），
单调减区间为（

2π

3

，π）．
当x=

2π

3

时，函数取得极大值：

3

+

2π

3

．

点评：本题考查导数和函数的单调性关系，以及余弦函数图象和性质，函数的极值的求法，属于中档题．