Question

已知直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t为参数），曲线C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

 （θ为参数）．
（1）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（2）当α变化时，求直线C₁与曲线C₂相交所得弦长的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：

分析：（1）当α=

π

3

时，直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’消去参数t可得：y=

3

x-

3

，曲线C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

（θ为参数）．消参得：x²+y²=13，联立基础即可得到交点坐标．
（2）直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t为参数），化为y=（x-1）tanα，或x=1，由参数方程可得直线是过点（1，0）的任意直线，然后由圆的几何性质得：
最长弦是直径为，垂直于直径的弦最短即2

r2-d2

，其中d为圆心到直线的距离．

解答： 解：（1）当α=

π

3

时，直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’消去参数t可得：y=

3

x-

3

，-------①
曲线C₂：

x= 13 cosθ y= 13 sinθ

（θ为参数）．消参得：x²+y²=13--------②
联立①、②化为2x²-3x-5=0，
解得：

x=-1 y=-2 3

或

x= 5 2 y= 3 3 2

，
所以交点坐标分别为(-1，-2

3

)，(

5

2

，

3 3

2

)．
（2）直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

’（t为参数），化为y=（x-1）tanα，或x=1，
由参数方程可得直线是过点（1，0）的任意直线，然后由圆的几何性质得：
最长弦是直径为2

13

，垂直于直径的弦最短即2

13-( 3 2 )2

=7．
∴直线C₁与曲线C₂相交所得弦长的取值范围是[7，2

13

]．

点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、直线与曲线的交点、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．