Question

2．三角形ABC三边长分别为n，n+1，n+2，n∈N⁺，最大角C是最小角A的两倍．
（1）求cosA（用n表示）
（2）求正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）设n所对角为A，n+2所对角为C，运用三角形的余弦定理，化简可得cosA；由正弦定理和二倍角的正弦公式，化简整理可得cosA；
（2）由（1）可得n的方程，可得$\frac{n+2}{2n}=\frac{n+5}{2（n+2）}$，解方程可得n的值．

解答 解：（1）根据大角对大边及大边对大角可知，设n所对角为A，n+2所对角为C，
由余弦定理得：$cosA=\frac{{{{（n+1）}^2}+{{（n+2）}^2}-{n^2}}}{2（n+1）（n+2）}=\frac{n+5}{2（n+2）}$，
由正弦定理得：$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{sinC}$及C=2A得
$\frac{n}{sinA}$=$\frac{n+2}{sin2A}$=$\frac{n+2}{2sinAcosA}$，
可得$cosA=\frac{n+2}{2n}$；
（2）由（1）可得$\frac{n+2}{2n}=\frac{n+5}{2（n+2）}$得
（n+2）²=n（n+5），
解得n=4．

点评 本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理的运用，同时考查二倍角的正弦公式和运算求解能力，属于中档题．