Question

已知函数f（x）=ln（ax²+2x+1），g（x）=log

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（x²-4x-5）．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围．
（3）求函数g（x）的递减区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）的定义域为R，结合对数函数的性质即可求实数a的取值范围．
（2）根据f（x）的值域为R，结合对数函数的性质以及二次函数的性质即可求实数a的取值范围．
（3）根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）若f（x）的定义域为R，则y=ax²+2x+1的图象恒在x轴的上方，
∴

a＞0 △=4-4a＜0

，解得a＞1．
（2）若f（x）的值域为R，则y=ax²+2x+1的图象一定要与x轴有交点，
∴a=0或

a＞0 △=4-4a≥0

，
解得a=0或0＜a≤1，
综上0≤a≤1．
（3）由x²-4x-5＞0，解得x＜-1或x＞5，即g（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞5}，
设t=x²-4x-5，则y=）=log

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t为减函数，
则根据复合函数单调性之间的关系可得要求函数g（x）的递减区间即求函数x²-4x-5的增区间，
即g（x）的减区间为（5，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的性质以及复合函数单调区间的求解，结合对数函数的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．