题目内容
已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=
，
+
=
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
| 21 |
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| 5 |
| 4 |
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，利用等比数列的性质及正弦定理化简后，求出sinB的值，即可确定出cosB的值；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：
解：（Ⅰ）由
+
=
+
=
=
①，
又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC，
∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴代入①式得：
=
，即sinB=
，
由b2=ac知，b不是最大边，
∴cosB=
=
；
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得，ac=a2+c2-2ac•
=（a+c）2-
ac，
∵a+c=
，∴ac=5，
∴S△ABC=
acsinB=2．
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
| 5 |
| 4 |
又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
由正弦定理化简得：sin2B=sinAsinC，
∵在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴代入①式得：
| sinB |
| sin2B |
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
由b2=ac知，b不是最大边，
∴cosB=
| 1-sin2B |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得，ac=a2+c2-2ac•
| 3 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∵a+c=
| 21 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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|
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| ||
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| ||
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