已知双曲线C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1焦点为F1.F2离心率为$\frac{5}{3}$.且求得双曲线C的方程为f.另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f(x.y)=0.则下列四个条件中.符合添加的条件共有( )①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|-|PF2||=6,②双曲线C的虚轴长为4,③双曲线C的一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

3．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）离心率为$\frac{5}{3}$，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（　　）
①双曲线C上任意一点P都满足||PF₁|-|PF₂||=6；
②双曲线C的虚轴长为4；
③双曲线C的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合；
④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

分析利用双曲线性质求解．

解答解：对于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6
∴a=3
又∵焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）
∴c=5
∴离心率e=$\frac{5}{3}$，故①符合条件；
对于②，双曲线C的虚轴长为4，
∴b=2，a=$\sqrt{25-4}$=$\sqrt{21}$，
∴离心率e=$\frac{5}{\sqrt{21}}$，故②不符合条件；
对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合，
∴a=$\frac{3}{2}$，e=$\frac{5}{\frac{3}{2}}$=$\frac{10}{3}$，故③不符合条件；
对于④，∵近线方程为4x±3y=0
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
又∵c=5，c²=a²+b²，∴a=3
∴离心率e=$\frac{5}{3}$，故④符合条件．
故选：B．

点评本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程的性质的合理运用．

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