Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，函数f（x）的解析式为$f（x）=\frac{2}{x}-1$．
（1）求当x＜0时函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的是减函数．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，整体代入已知式子由偶函数可得；
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁）-f（x₂）的符号可得．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x＞0时，函数f（x）的解析式为$f（x）=\frac{2}{x}-1$，
∴f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-$\frac{2}{x}$-1，
由偶函数可知当x＜0时，f（x）=f（-x）=-$\frac{2}{x}$-1；
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{{x}_{2}}$+1=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁，x₂的范围和大小关系可得f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，+∞）上的是减函数

点评 本题考查函数解析的求解和定义法证明函数的单调性，属基础题．