Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为${S_n}，{a_1}=-\frac{1}{2}，{S_n}=-\frac{1}{{{S_{n-1}}+2}}（{n≥2}）$
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用条件，代入计算，可得S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，运用数学归纳法证明步骤进行证明．

解答 解：（1）S₁=-$\frac{1}{2}$，S₂，=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，S₄=-$\frac{4}{5}$
（2）猜想${S_n}=-\frac{n}{n+1}$
下面用数学归纳法证明
当n=1时，结论显然正确．
假设n=k，k∈N⁺时结论正确，即${S_k}=-\frac{k}{k+1}$
则当n=k+1时，${S_{k+1}}=-\frac{1}{{2+{S_k}}}=-\frac{1}{{2-\frac{k}{k+1}}}=-\frac{k+1}{k+2}$，
∴n=k+1结论正确．
故对任意正整数n，都有${S_n}=-\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．