Question

6．已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，则下列结论正确的是①④．
①sinαcosβ=5cosαsinβ  
②sin2α=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$
③若α，β是直角三角形的两个锐角，则tan（α-β）的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
④若α，β是一个三角形的两个内角，则tan（α-β）的最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 ①利用两角和与差的正弦公式展开化简，求得sinαcosβ=5cosαsinβ；
②由sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$求得cos（α+β）、cos（α-β）的值，得出sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）不是一个值；
③α，β是直角三角形的两个锐角时sin（α+β）=1，与已知矛盾；
④由①知sinαcosβ=5cosαsinβ，得tanα=5tanβ，计算tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{4}{\frac{1}{tanβ}+5tanβ}$，利用基本不等式求出最大值．

解答 解：对于①，sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{2}$，
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴2sinαcosβ=$\frac{5}{6}$，2cosαsinβ=$\frac{1}{6}$，
∴sinαcosβ=5cosαsinβ，∴①正确；
对于②，sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+β）=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos（α-β）=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β），
∴sin2α不是一个值，②错误；
对于③，α，β是直角三角形的两个锐角，α+β=$\frac{π}{2}$，sin（α+β）=1，
与已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$矛盾，∴③错误；
对于④，α，β是一个三角形的两个内角，
由①知，sinαcosβ=5cosαsinβ，∴tanα=5tanβ，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{4tanβ}{1+{5tan}^{2}β}$
=$\frac{4}{\frac{1}{tanβ}+5tanβ}$≤$\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{tanβ}•5tanβ}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当且仅当$\frac{1}{tanβ}$=5tanβ，即tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时取“=”，∴④正确；
综上，正确的命题为①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了三角恒等变换与同角的三角函数关系的应用问题，是难题．