Question

四棱锥S-ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N、O分别是AB、SC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；
（Ⅱ）求证：平面SOB⊥平面SCM．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取SD的中点R，连结AR、RN，先证明四边形AMNR是平行四边形，可得MN∥AR，由于AR?平面SAD，MN在平面SAD外，可证MN∥平面SAD．
（Ⅱ）如图，设OB∩CM=H，先证明CM⊥SO，再证明CM⊥OB，可证平面SOB⊥平面SCM．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，
则RN∥CD，且RN=

1

2

CD，AM∥CD，
所以RN∥AM，且RN=AM，
所以四边形AMNR是平行四边形，
所以MN∥AR，由于AR?平面SAD，MN在平面SAD外，
所以MN∥平面SAD．（6分）
（Ⅱ）如图，设OB∩CM=H，由SO⊥AD，面SAD⊥面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，所以CM⊥SO，
易得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，
则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，
所以CM⊥OB，
所以CM⊥平面SOB，因为CM?平面SCM，
所以平面SOB⊥平面SCM．（12分）

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于中档题．