Question

已知点P在双曲线

x2

9

-

y2

4

=1上，且左右两个顶点分别为A₁、A₂，记直线PA₁的斜率为k₁，直线PA₂的斜率为k₂，
（1）若P点的横坐标为5，则k₁•k₂=

 

．
（2）若直线PA₁的斜率k₁的取值范围是[-

1

9

，-

1

18

]，则直线PA₂的斜率k₂的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得P（5，

8

3

）或P（5，-

8

3

），A₁（-3，0），A₂（3，0），由此能求出k₁k₂=

4

9

．
（2）设P（x₀，y₀），则

x02

9

-

y02

4

=1，

y02

x02-9

=

4

9

，由A₁（-3，0），A₂（3，0），知k₁k₂=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

4

9

，由此利用直线PA₁的斜率k₁的取值范围能求出直线PA₂的斜率k₂的取值范围．

解答： 解：（1）∵点P在双曲线

x2

9

-

y2

4

=1上，且左右两个顶点分别为A₁、A₂，
P点的横坐标为5，
∴P（5，

8

3

）或P（5，-

8

3

），
A₁（-3，0），A₂（3，0），
∴取P（5，

8

3

），得k1=

8 3

8

=

1

3

，k2=

8 3

2

=

4

3

，
∴k₁k₂=

4

9

；
取P（5，-

8

3

），得k1=

- 8 3

8

=-

1

3

，k2=-

8 3

2

=-

4

3

，
∴k₁k₂=

4

9

．
综上，k₁k₂=

4

9

．
故答案为：

4

9

．
（2）设P（x₀，y₀），则

x02

9

-

y02

4

=1，
∴

y02

x02-9

=

4

9

，
∵A₁（-3，0），A₂（3，0），
∴k₁k₂=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

4

9

，
∵直线PA₁的斜率k₁的取值范围是[-

1

9

，-

1

18

]，
∴直线PA₂的斜率k₂的取值范围是[-8，-4]．
故答案为：[-8，-4]．

点评：本题考查两直线的斜率之积的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．