Question

函数f（x）=2cos²x+3sinx+2，x∈[

π

6

，

2π

3

]的值域

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据同角公式化简函数解析式，得到关于sinx的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．

解答： 解：y=2cos²x+3sinx+2=2（1-sin²x）+3sinx+2=-2（sinx-

3

4

）²+

41

8

，
x∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sinx∈[

1

2

，1]，
∴当sinx=

3

4

时，函数f（x）取最大值

41

8

，
当sinx=

1

2

或sinx=1时，函数f（x）取最小值5，
故函数f（x）=2cos²x+3sinx+2，x∈[

π

6

，

2π

3

]的值域为[5，

41

8

]，
故答案为：[5，

41

8

]

点评：此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．