Question

已知矩阵M=

1 -2 -2 1

，a=

3 1

．
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量；
（3）试计算M²⁰a；．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）利用逆矩阵的公式可求出矩阵M的逆矩阵；（2）利用矩阵的特征多项式求出矩阵的特征值，利用对应方程组求出相应的特征向量；（3）将向量分解成两个特征向量的线性和，再利用特征向量的定义得出矩阵与向量和积，得到本题结论．

解答： 解：（1）|M|=-3，由逆矩阵公式知M-1=

- 1 3 - 2 3 - 2 3 - 1 3

．
（2）矩阵M的特征多次式为f（λ）=

.

λ-1 2 2 λ-1

.

=（λ-1）²-4
令f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，
当λ₁=3时，

2x+2y=0 2x+2y=0

，取x=1，则y=-1，对应的特征向量为

1 -1

；
当λ₂=-1，时，

-2x+2y=0 2x-2y=0

，取x=1，则y=1，对应的特征向量为

1 1

．
∴矩阵M的特征值为λ₁=3，λ₂=-1，对应的特征向量分别为

1 -1

和

1 1

．
（3）α=

3 1

=

1 -1

+2

1 1

，
∴M²⁰α=320

1 -1

+2(-1)20

1 1

=

320+2 -320+2

．

点评：本题考查的是逆矩阵的求法，可以用定义法或公式法，本题还考查了矩阵的特征值和特征向量及其应用，有一定的思维难度，计算量较大，属于中档题．