Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，M为棱AA₁上一点，且B₁M与平面ACC₁所成角为30°．
（1）确定M的位置，并证明你的结论；
（2）求二面角M-B₁C-C₁的大小正切值；
（3）求点B到平面MB₁C的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）M为AA₁中点．取A₁C₁中点N，连结B₁N，MN，B₁M，由已知条件推导出B₁N=

2

2

，B1M=

2

，从而得到A1M=

2-1

=1，所以M为AA₁中点．
（2）过M作ME⊥BB₁于E，过E作EF⊥B₁C交于F，连MF，由已知条件得∠MFE为二面角M-B₁C-B平面角．由此能求出二面角M-B₁C-C₁的正切值．
（3）过E作EH⊥MF，则EH⊥平面MB₁C，所以EH的长为E到平面MB₁C距离，由此能求出B到平面MB₁C的距离．

解答： （1）解：M为AA₁中点．
证明如下：取A₁C₁中点N，连结B₁N，MN，B₁M，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，
M为棱AA₁上一点，且B₁M与平面ACC₁所成角为30°．
∴B₁N⊥平面ACC₁，∠B₁MN=30°，
∵B₁N=

1- 1 2

=

2

2

，∴B1M=

2

，
∴A1M=

2-1

=1，∴M为AA₁中点．…（4分）
（2）解：过M作ME⊥BB₁于E，
则ME⊥平面BCC₁B₁，且E为BB₁中点，
过E作EF⊥B₁C交于F，连MF，则MF⊥B₁C
∴∠MFE为二面角M-B₁C-B平面角．
在Rt△MEF中，ME=1，EF=

5

5

∴tan∠MFE=

ME

EF

=

5

∴所求二面角M-B₁C-C₁的正切值为-

5

…（8分）
（3）解：过E作EH⊥MF，则EH⊥平面MB₁C，
∴EH的长为E到平面MB₁C距离，
在Rt△MEF中，EH=

ME•EF

MF

=

6

6

又∵E为BB₁中点，
∴B到平面MB₁C的距离为2EH=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查二面角正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．