Question

已知双曲线-=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A，B两点，且=3，若△ABF₁是以B为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：将向量关系转化为长度关系，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．
解答：解：因为=3，所以AF₂=3F₂B，设BF₂=m，则AF₂=3m，所以BF₂=AB=4m．
又BF₁-BF₂=3m=2a，即，
所以，
又AF₁-AF₂=AF₁-3m=2a，所以AF₁=2a+3m=4a．
由余弦定理得．
又，
即=8a²，
所以c²=2a²，即c=，即离心率e=．
故选D．


点评：本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理的应用，将向量关系转化为长度关系，利用余弦定理求出边长和a，c之间的关系是解决本题的关键．本题运算量较大，综合性较强，考查学生的运算能力．