Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为

1

2

，且椭圆的离心率为

2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得

1

2

bc=

1

2

，

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由M（0，1），F（1，0），得k_PQ=1．设直线l的方程为y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，
△OMF的面积为

1

2

，且椭圆的离心率为

2

2

，
由题意得

1

2

bc=

1

2

，

c

a

=

2

2

，
解得b=1，a=

2

，
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，
由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
由题意应有

MP

•

FQ

=0，
又

MP

=(x1，y1-1) ，

FQ

=(x2-1，y2)，
故x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0．
即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0．
整理得2×

2m2-2

3

-

4

3

m(m-1)+m2-m=0．
解得m=-

4

3

或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．
当m=-

4

3

时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-

4

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的合理运用，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．