Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax
（1）当a=0，求f（x）的极值
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（Ⅱ）分类讨论，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间．

解答： 解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

，f′（x）=

2x-1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；
当x≥

1

2

时，f′（x）＞0
又∵f（

1

2

）=2-ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

当a＞0时，令f′（x）＜0 得-

1

a

＜x＜

1

2

，令f′（x）＞0 得0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
当a＜-2时，-

1

a

＜

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0 得-

1

a

＜x＜

1

2

；
当-2＜a＜0时，得-

1

a

＞

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

，
令f′（x）＞0 得

1

2

＜x＜-

1

a

；
当a=-2时，f′（x）=-

(2x-1)2

x2

≤0，
综上所述，当a＞0时，递减区间为（-

1

a

，

1

2

）；递增区间为（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）；
当a=0时，递减区间为（0，

1

2

）；递增区间为（

1

2

，+∞）；
当a＜-2时，f（x）的递减区间为（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞），递增区间为（-

1

a

，

1

2

）；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞），递增区间为（

1

2

，-

1

a

）．

点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法，属难题．