Question

已知函数f（x）=2sinx-x，g（x）=f（x）-（2-

π

2

）．
（1）讨论g（x）在（0，

π

6

）内和在（

π

6

，

π

2

）内的零点情况．
（2）设x₀是g（x）在（0，

π

6

）内的一个零点，求f（x）在[x₀，

π

2

]上的最值．
（3）证明对n∈N^*恒有n-

n

+

1

2

＜

n

k=1

cos

1

k

＜（

3

2

+

π

12

）n-

n+1

+1．

Answer 1

考点：不等式的证明,利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由g'（x）=2cosx-1=0，知g（x）在(0，

π

2

)有唯一零点x=

π

3

，进一步分析其在（0，

π

6

）内和在（

π

6

，

π

2

）内的单调情况即可得到g（x）在（0，

π

6

）内和在（

π

6

，

π

2

）内的零点情况．
（2）由（1）的结论知f（x）在[x0，

π

2

]的最小值应为min{f(x0)，f(

π

2

)}，进一步分析可得f（x）在[x0，

π

2

]的最小值f(x0)=f(

π

2

)=2-

π

2

．
（3）由（2）知x∈[x0，

π

2

]时，有2-

π

2

≤f(x)≤

3

-

π

3

，即

1

2

x+1-

π

4

≤sinx≤

1

2

x+

3

2

-

π

6

①，于是可得n-

1

2

n

k=1

1

k

≤

n

k=1

cos

1

k

≤(

3

2

+

π

12

)n-

1

2

n

k=1

1

k

②，再利用放缩法可证得

n

k=1

cos

1

k

＜(

3

2

+

π

12

)n-(

n+1

-1)  ③与

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

(2

n

-1)=n-

n

+

1

2

④，从而可证得结论成立．

解答： （1）解：g'（x）=2cosx-1在(0，

π

2

)有唯一零点x=

π

3

，易知g（x）在(0，

π

3

)单增而在(

π

3

，

π

2

)内单减，且g(

π

3

)=(

3

-

π

3

)-(2-

π

2

)＞0，
故g（x）在(0，

π

3

)和[

π

3

，

π

2

)内都至多有一个零点．
又g(0)＜0，g(

π

6

)=(1-

π

6

)-(2-

π

2

)=

π

3

-1＞0，故g（x）在（0，

π

6

）内有唯一零点；再由g(

π

2

)=0知g（x）在（

π

6

，

π

2

）内无零点．
（2）由（1）知g（x）在[0，

π

2

]有最大值g(

π

3

)=(

3

-

π

3

)-(2-

π

2

)，故f（x）在[x0，

π

2

]有最大值f(

π

3

)=

3

-

π

3

；
再由（1）的结论知f（x）在[x0，

π

2

]的最小值应为min{f(x0)，f(

π

2

)}．由g（x₀）=0知f(x0)=2-

π

2

=f(

π

2

)，于是f（x）在[x0，

π

2

]的最小值f(x0)=f(

π

2

)=2-

π

2

．
（3）证明：由（2）知x∈[x0，

π

2

]时，有2-

π

2

≤f(x)≤

3

-

π

3

，即

1

2

x+1-

π

4

≤sinx≤

1

2

x+

3

2

-

π

6

①
取xk=

π

2

-

1

k

(k∈N*)，则xk＜

π

2

且xk≥

π

2

-1＞

π

6

＞x0，将x_k的值代入①中，可得1-

1

2 k

≤cos

1

k

≤

3

2

+

π

12

-

1

2 k

⇒n-

1

2

n

k=1

1

k

≤

n

k=1

cos

1

k

≤(

3

2

+

π

12

)n-

1

2

n

k=1

1

k

②
再由

n

k=1

1

k

=

n

k=1

2

2 k

＞2

n

k=1

1

k+1 + k

=2

n

k=1

(

k+1

-

k

)=2(

n+1

-1)，得

n

k=1

cos

1

k

＜(

3

2

+

π

12

)n-(

n+1

-1)       ③
相仿地，n≥2时，

n

k=1

1

k

=1+

n

k=2

2

2 k

＜1+2

n

k=2

(

k

-

k-1

)=2

n

-1，故

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

(2

n

-1)=n-

n

+

1

2

④
而n=1时④即cos1＞cos600=

1

2

，显然也成立．故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查利用导数研究函数单调性与极值，突出放缩法在证明不等式中的应用，考查抽象思维、逻辑思维、创新思维能力的综合运用，属于难题．