Question

15．已知四棱锥P-ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的侧面积．

Answer 1

分析 （1）根据三视图形状可得侧面PDC⊥平面ABCD，结合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性质得AD⊥侧面PDC．再根据线面垂直的性质，结合PC?侧面PDC可证出AD⊥PC；
（2）过E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，分别求出侧面积，即得四棱锥P-ABCD的侧面积．

解答 （1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，
则PE⊥平面ABCD．…（1分）
∵AD?平面ABCD，
∴AD⊥PE．…（2分）
∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD?平面PCD，PE?平面PCD，
∴AD⊥平面PCD．…（4分）
∵PC?平面PCD，
∴AD⊥PC．…（5分）
（2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，
在Rt△PED中，$PE=\sqrt{P{D^2}-D{E^2}}=\sqrt{5}$，…（6分）
过E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，
∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PE．
∵EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE=E，
∴AB⊥平面PEF．
∵PF?平面PEF，
∴AB⊥PF．
依题意得EF=AD=2．
在Rt△PEF中，$PF=\sqrt{P{E^2}+E{F^2}}=3$，…（9分）
∴四棱锥P-ABCD的侧面积
$\begin{array}{l}{S_{△PAB}}+{S_{△PBC}}+{S_{△PCD}}+{S_{△PAD}}=\frac{1}{2}×4×3+2×\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}\\=12+2\sqrt{5}\end{array}$．…（12分）

点评 本题给出三视图，要求我们证明线线垂直并求侧面三角形的面积，着重考查了三视图求面积和面面垂直、线面垂直的性质定理等知识，属于中档题．