Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5．则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}}\right\}$的前50项和T₅₀=$\frac{-51}{101}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₃=0，S₅=-5．可得$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}$d=0，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=-5，解得a₁，d．可得a_n=2-n．可得$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₃=0，S₅=-5．
∴$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}$d=0，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=-5，
解得a₁=1，d=-1．
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}}\right\}$的前50项和T₅₀=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{99}-\frac{1}{101}）]$
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{101}）$
=$\frac{-51}{101}$．
故答案为：$\frac{-51}{101}$．

点评 本题考查了裂项求和方法、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．