Question

函数f（x）=

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x³+x-sinx的定义域为R，数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄＜0，记m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₄）．关于实数m，下列说法正确的是（　　）

• A、m恒为负数
• B、m恒为正数
• C、当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数
• D、当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由函数的解析式可得f（x）是奇函数，由它的导数f′（x）≥0，可得函数f（x）在R上是增函数．分d＞0和d＜0以及d=0三种情况，分别利用函数的奇偶性和单调性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₄）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₂）＜0，…，从而得到 m＜0，从而得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

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x³+x-sinx的定义域为R，是奇函数，且它的导数f′（x）=x²+1-cosx≥0，
故函数f（x）在R上是增函数．
数列{a_n}是公差为d的等差数列，当d＞0时，数列为递增数列，由a₁+a₂₀₁₄＜0，
可得 a₂₀₁₄＜-a₁，∴f（a₂₀₁₄）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴f（a₁）+f（a₂₀₁₄）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₂）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₄）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₄）+f（a₂）+f（a₂₀₁₃）+f（a₃）+f（a₂₀₁₂）+…+f（a₁₀₀₇）+f（a₁₀₀₈）＜0．
当d＜0时，数列为递减数列，同理求得 m＜0．
当d=0时，该数列为常数数列，每一项都小于，故有f（a_n）＜0，
故m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₄）＜0，
故选A．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，等差数列的性质，属于中档题．