Question

在下列命题中：
①函数f（x）=x+

a

x

（x＞0）的最小值为2

a

；
②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；
③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）=0；
④已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数f（x）=x-sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．
其中正确命题的序号为

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，由函数f（x）=x+

a

x

（x＞0），知a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，可判断①；
②，利用函数的对称性与周期性可得到f（-x）=f（x），从而可判断②；
③，依题意可求得f（4）=0；f（7）=f（-1）=-f（1），从而可判断③；
④，利用导数法及充分必要条件的概念可判断④；
⑤，易求f′（x）=1-cosx≥0，可得f（x）=x-sinx为R上的增函数，进一步可知，f（x）为R上的为奇函数，从而可判断⑤．

解答： 解：①，函数f（x）=x+

a

x

（x＞0）中，
当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；
②，∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，
∴f（x）=f（4-x）=f（-x），
∴f（x）为偶函数，故②正确；
③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，
∴f（4）=f（0）=0；f（7）=f（8-1）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）+f（4）+f（7）=f（1）+0-f（1）=0，故③正确；
④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
要使y=f（x）有极值，则方程3ax²+2bx+c=0（a≠0）有两异根，
∴△=4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0；
当a+b+c=0（a≠0）时，b=-（a+c），b²-3ac=（a+c）²-3ac=a²+c²-ac=（a-

c

2

）²+

3

4

c²＞0，充分性成立，反之不然；
∴a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件，故④错误；
⑤，∵f（x）=x-sinx，
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx为R上的增函数，
又f（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x），
∴f（x）=x-sinx为R上的奇函数；
∴若a+b＞0，即a＞-b时，f（a）＞f（-b=-f（b），
∴f（a）+f（b）＞0，故⑤正确．
综上所述，正确的命题序号为：②③⑤．
故答案为：②③⑤

点评：本题考查命题的真假判断与应用，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，考查导数法判定极值及充分必要条件概念及其应用，属于中档题．