Question

利用“五点法”换函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象时，先列表（部分数据）如下：

ωx+φ	0		π		2π
x	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3
y		4		-2

（1）根据表格提供的份额数据求函数f（x）的解析式以及单调递增区间；
（2）若当x∈[0，

7π

6

]时，方程f（x）=m+1恰有两个不同的解，求实数m的取值范围，并求这两个解的和．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由最值求出A、B的值，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）将方程f（x）=m+1进行转化，利用正弦函数的定义域和值域求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可知

ω× π 3 +φ=0 ω× 4π 3 +φ=π

，解得ω=1，φ=-

π

3

，
由

B+A=4 B-A=-2

，解得A=3，B=1，即f（x）=3sin（x-

π

3

）+1，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间是[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z；
（2）由f（x）=3sin（x-

π

3

）+1=m+1得m=3sin（x-

π

3

），
∵x∈[0，

7π

6

]，
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
由正弦函数的图象可知，要使方程f（x）=m+1恰有两个不同的解，
则实数m的取值范围是[

3

2

，3），
设这两个实数解为x₁，x₂，
则（x₁-

π

3

）+（x₂-

π

3

）=2×

π

2

，
即x₁+x₂=

5π

3

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性、对称性、定义域和值域，综合考查三角函数的图象和性质．