Question

已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（-3，-1），B（4，6）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为-4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆心C（a，2a），由圆经过点A（-3，-1），B（4，6），可得|CA|²=|CB|²，由此求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．
（Ⅱ）求出P（-4，-8），分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x上，∴设C（a，2a），
由圆经过点A（-3，-1），B（4，6），可得|CA|²=|CB|²，
即 （a+3）²+（2a-+1）²=（a-4）²+（2a-6）²，解得 a=1．
故圆心C（1，2），半径为r=|CA|=5，
故圆C的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=25；
（Ⅱ）由题意，P（-4，-8），则
切线斜率不存在时，则切线方程为x=-4；
切线斜率存在时，设方程为y+8=k（x+4），即kx-y+4k-8-0，
圆心到切线的距离

|5k-10|

1+k2

=5，∴k=

3

4

，
∴切线方程为3x-4y-20=0，
综上所述，切线方程为x=-4或3x-4y-20=0．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．