Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sinα的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且α为锐角，求cos（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$，从而15sin²α-16sinα-15=0，由此能求出sinα．
（2）由a$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，从而12-20sinα=0，进而sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，由二倍角公式求出sin2α，cos2α，由此能求出cos（2$α-\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{5cosα}{-4tanα}$=$\frac{5co{s}^{2}α}{-4sinα}$，
整理，得：15cos²α+16sinα=0，即15sin²α-16sinα-15=0，
解得sinα=-$\frac{3}{5}$或sinα=$\frac{5}{3}$（舍去），
∴sinα=-$\frac{3}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即12-20cosα•tanα=0，
∴12-20sinα=0，即sinα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
cos2α=1-2sin²α=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2$α-\frac{π}{4}$）=cos2αcos$\frac{π}{4}$+sin2αsin$\frac{π}{4}$
=$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．