Question

19．设集合X是实数集R的子集，如果点x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x-x₀|＜a，那么称x₀为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合：①$\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$，②{x∈R|x≠0}，③$\{\frac{1}{n}\left|{n∈Z，}\right.n≠0\}$，④整数集Z中，以0为聚点的集合有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答 解：①中，集合$\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大$\frac{1}{2}$，
∴在a＜$\frac{1}{2}$的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合 $\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$的聚点；
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=$\frac{a}{2}$（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=$\frac{a}{2}$＜a，
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；
③集合{$\frac{1}{n}$|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞$\frac{1}{a}$，使0＜|x|=$\frac{1}{n}$＜a，
∴0是集合{$\frac{1}{n}$|n∈Z，n≠0}的聚点；
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键，是中档题．