Question

14．已知函数f（x）=x+sinx．x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），函数g（x）的定义域为实数集R，函数h（x）=f（x）+g（x），
（1）若函数g（x）是奇函数，判断并证明函数h（x）的奇偶性；
（2）若函数g（x）是单调增函数，用反证法证明函数h（x）的图象与x轴至多有一个交点．

Answer 1

分析 （1）先判断f（x）的奇偶性，再计算h（-x）与h（x）的关系得出结论；
（2）假设h（x）的图象与x轴至少有两个交点，不妨设两交点横坐标为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则h（x₁）=h（x₂），于是（x₂）-g（x₁）=f（x₁）-f（x₂），根据f（x）的单调性得出g（x）的单调性，从而得出矛盾．

解答 解：（1）h（x）是奇函数，证明如下：
∵f（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），
∴h（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-h（x），
∴h（x）是奇函数．
（2）假设h（x）的图象与x轴至少有两个交点，不妨设两交点横坐标为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则h（x₁）=h（x₂）=0，
即f（x₁）+g（x₁）=f（x₂）+g（x₂），∴g（x₂）-g（x₁）=f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（sinx₁-sinx₂），
∵x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，sinx₁-sinx₂＜0
∴（x₁-x₂）+（sinx₁-sinx₂）＜0，即g（x₂）-g（x₁）＜0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）是减函数，与g（x）是增函数矛盾，
∴假设不成立，即函数h（x）的图象与x轴至多有一个交点．

点评 本题考查了函数奇偶性、单调性判断，属于中档题．