Question

若函数f（

1-x

1+x

）=x，则下列所给式子中正确的有

 

（填序号）．
①f（-2-x）=-2-f（x）；
②f（-x）=f（

1+x

1-x

）；
③f（

1

x

）=f（x）；
④f[f（x）]=-x．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：换元法,函数的性质及应用

分析：先用换元法求出函数f（x）的解析式，再对四个命题进行判断即可．

解答： 解：∵函数f（

1-x

1+x

）=x，
设

1-x

1+x

=t，则x=

1-t

1+t

，
∴f（t）=

1-t

1+t

（t≠-1）；
对于①，f（-2-x）=

1-(-2-x)

1+(-2-x)

=

3+x

-1-x

=-

3+x

1+x

，
-2-f（x）=-2-

1-x

1+x

=-

3+x

1+x

，
∴f（-2-x）=-2-f（x），①正确；
对于②，f（-x）=

1-(-x)

1+(-x)

=

1+x

1-x

，
f（

1+x

1-x

）=

1- 1+x 1-x

1+ 1+x 1-x

=-x，
∴f（-x）≠f（

1+x

1-x

），②错误；
对于③，f（

1

x

）=

1- 1 x

1+ 1 x

=

x-1

x+1

，
f（x）=

1-x

1+x

=-

x-1

x+1

，
∴f（

1

x

）≠f（x），③错误；
对于④，∵f（x）=

1-x

1+x

，
∴f[f（x）]=f（

1-x

1+x

）=x，
∴f[f（x）]≠-x，④错误．
综上，正确的命题序号是①．
故答案为：①．

点评：本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了求函数解析式的应用问题，是基础题目．