Question

4．（1）在Rt ABC 中，CA CB，斜边AB 上的高为 h，则$\frac{1}{{h}^{2}}$ $\frac{1}{C{A}^{2}}$ $\frac{1}{C{B}^{2}}$，类比此性质，如图，在四面体 PABC中，若 PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为 h，可猜想得到的结论为$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$．
（2）证明（1）问中得到的猜想．

Answer 1

分析 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答 解：（1）∵在平面上的性质，若Rt△ABC的斜边AB上的高为h，则有 $\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{C{A}^{2}}$+$\frac{1}{C{B}^{2}}$．”
我们类比到空间中，可以类比推断出：
在四面体P-ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，有：$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$
（2）∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴PA⊥平面PBC．
设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，PA，PB，PC分别为a，b，c，
由已知有：PD=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，h=PO=$\frac{a•PD}{\sqrt{{a}^{2}+P{D}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．