Question

已知不等式ax²＞3x-2的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b；
（2）解不等式acx²-（ac+b）x+b＜0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）由一元二次不等式与对应方程的实数集之间的关系，结合根与系数的关系，求出a、b的值；
（2）由（1）的结论，化简不等式acx²-（ac+b）x+b＜0，讨论c的取值，解含有字母系数的不等式即可．

解答： 解：（1）∵不等式ax²＞3x-2的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴x₁=1与x₂=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，且b＞1，
由根与系数的关系，得

1+b= 3 a 1×b= 2 a

；
解得a=1，b=2；
（2）由（1）知，不等式acx²-（ac+b）x+b＜0可化为不等式cx²-（c+2）x+2＜0，
即（cx-2）（x-1）＜0；
①当c=0时，不等式为x-1＞0，解集为{x|x＞1}；
②当c＞0时，不等式为（x-

2

c

）（x-1）＜0，
（i）c=2时，解集为Φ，
（ii）c＞2时，

2

c

＜1，此时解集为{x|

2

c

＜x＜1}，
（iii）0＜c＜2时，

2

c

＞1，此时解集为{x|1＜x＜

2

c

}；
③当c＜0时，不等式为（x-

2

c

）（x-1）＞0，此时不等式解集为{x|x＞1，或x＜

2

c

}；
综上，c＜0时，解集为{x|x＞1，或x＜

2

c

}，
c=0时，解集为{x|x＞1}，
0＜c＜2时，解集为{x|1＜x＜

2

c

}，
c=2时，解集为Φ，
c＞2时，解集为{x|

2

c

＜x＜1}．

点评：本题考查了一元二次不等式与对应的方程解的关系，考查了根与系数的关系的应用问题，也考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是基础题．