Question

已知数列的前项和为，且，对任意，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法1是在的条件下，由得到，将两式相减得，经化简得，从而得出数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；解法2是利用代入递推式得到，经过化简得到，在两边同时除以得到，从而得到数列为等差数列，先求出数列的通项公式，进而求出的表达式，然后利用与之间的关系求出数列的通项公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.
试题解析：（1）解法1：当时，，，
两式相减得，
即，得.当时，，即.
数列是以为首项，公差为的等差数列..
解法2：由，得，
整理得，，两边同除以得，.
数列是以为首项，公差为的等差数列...
当时，.
又适合上式，数列的通项公式为；
（2）解法1：由（1）得.
，.
，①
，②
①②得.
.
解法2：由（1）得.，.
，①
由，
两边对取导数得，.
令，得.
.