题目内容

已知实数,函数
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)若当时,函数图象上的点均在不等式,所表示的平面区域内,求实数 的取值范围。
(1)单调递增;(2)≤a<0或0<a≤1;(3).

试题分析:本题考查导数的应用,(1)判断讨论函数的单调性,可以求出其导数,然后解不等式,其解集区间是函数的单调增区间,不等式的解集区间是函数的单调减区间;(2)在区间上是增函数,说明不等式在区间上恒成立,本题中可求出,因此不等式,由于,则上恒成立,即的最小值,记,它是二次函数,要求它的最小值,可分讨论;(3)题意是不等式上恒成立,记,则当时,恒成立,求其导数,当时,在上,为减函数,不恒成立(如),时,此时要讨论的大小,以便讨论函数的单调性,求出其最小值,因为不等式恒成立,就是.
(1)当a=1时,
所以,                                2分
因为,所以恒成立,
所以上单调递增;                                    3分
(2)因为,所以
因为在[1, 4]上是增函数,所以在[1, 4]上恒成立,
在[1, 4]上恒成立,①                                5分
,对称轴为x=1,
因为,所以当时,要使①成立,只需g(1)≥0,解得:a≤1,所以0<a≤1,
时,要使①成立,只需g(4)≥0,解得:a≥,所以≤a<0,
综上,≤a<0或0<a≤1;                                            8分
(3)由题意,有上恒成立,
,则上恒成立,②
所以,                        10分
当a<0时,因为x>2,则,所以上单调递减,
又因为,所以②不恒成立,                12分
时,,此时上单调递减,在上单调递增,
所以
所以只需,解得:
所以时②恒成立;                                            14分
时,,此时上单调递增,
所以
因为,所以,所以②不恒成立,
综上,实数 的取值范围是:。                        16分
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