题目内容

已知函数,其中.
(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)如果对于任意,且,都有,求的取值范围.
(1);(2).

试题分析:(1)将代入函数的解析式,求出切点坐标与,再利用点斜式写出相应的切线方程;(2)将问题等价于上单调递增来处理,然后分别考虑函数
的单调性与极值,利用两个函数的图象确定直线的位置,利用来进行限制,从而求解出实数的取值范围.
试题解析:(1)由题意,得,其中
所以
又因为
所以函数的图象在点处的切线方程为
(2)先考察函数的图象,
配方得
所以函数上单调递增,在单调递减,且.
因为对于任意,且,都有成立,
所以.
以下考察函数的图象,

,解得.
随着变化时,的变化情况如下:










 

即函数上单调递减,在上单调递增,且.
因为对于任意,且,都有成立,
所以.
因为(即),
所以的取值范围为.
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